| author | Patrick PIERRE |
| mer., 29 juin 2016 14:55:53 +0200 | |
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<topic id="maths" xml:lang="fr"> |
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<head> |
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<title>Quelques formules mathématiques</title> |
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<subjectset> |
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<subject>Mathématiques</subject> |
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</subjectset> |
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</head> |
| Patrick@275 | 11 |
|
| Patrick@275 | 12 |
<section> |
| Patrick@275 | 13 |
<head> |
| Patrick@275 | 14 |
<title>Formule native</title> |
| Patrick@275 | 15 |
</head> |
| Patrick@277 | 16 |
<section> |
| Patrick@277 | 17 |
<head><title>Le dernier théorème de Fermat</title></head> |
| Patrick@277 | 18 |
<p> |
| Patrick@277 | 19 |
Il n'existe pas de nombres entiers non nuls <var>x</var>, |
| Patrick@277 | 20 |
<var>y</var> et <var>z</var> tels que : |
| Patrick@280 | 21 |
<math xml:id="fermat" display="wide"> |
| Patrick@277 | 22 |
<var>x</var><sup>n</sup> + <var>y</var><sup>n</sup> = <var>z</var><sup>n</sup> |
| Patrick@277 | 23 |
</math> |
| Patrick@277 | 24 |
dès que <var>n</var> est un entier strictement supérieur à 2. |
| Patrick@277 | 25 |
</p> |
| Patrick@277 | 26 |
</section> |
| Patrick@275 | 27 |
</section> |
| Patrick@275 | 28 |
|
| Patrick@275 | 29 |
<section> |
| Patrick@275 | 30 |
<head> |
| Patrick@308 | 31 |
<title>Formule en LaTeX</title> |
| Patrick@275 | 32 |
</head> |
| Patrick@308 | 33 |
<section> |
| Patrick@308 | 34 |
<head> |
| Patrick@308 | 35 |
<title>Formule dans le texte</title> |
| Patrick@308 | 36 |
</head> |
| Patrick@308 | 37 |
<p> |
| Patrick@308 | 38 |
On rappelle que la <highlight>moyenne</highlight> de <var>X</var> est |
| Patrick@308 | 39 |
le nombre : <math><latex>\overline X = |
| Patrick@308 | 40 |
\frac{1}{n}\left( {n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_p x_p } \right)</latex></math>.
|
| Patrick@308 | 41 |
</p> |
| Patrick@308 | 42 |
<p> |
| Patrick@308 | 43 |
On appelle <highlight>variance</highlight> de la série |
| Patrick@308 | 44 |
statistique <var>X</var>, le nombre : |
| Patrick@308 | 45 |
<math><latex>V\left( X \right) = |
| Patrick@308 | 46 |
\frac{1}{n}\left( {n_1 \left( {x_1 - \overline X } \right)^2
|
| Patrick@308 | 47 |
+ \dots + n_p \left( {x_p - \overline X } \right)^2 }
|
| Patrick@308 | 48 |
\right)</latex></math> qu'on réécrit ainsi : |
| Patrick@308 | 49 |
<math><latex>V\left( X \right) = |
| Patrick@308 | 50 |
\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^p {n_i \left( {x_i - \overline X }
|
| Patrick@308 | 51 |
\right)^2 }</latex></math>. |
| Patrick@308 | 52 |
</p> |
| Patrick@308 | 53 |
<p> |
| Patrick@308 | 54 |
L'<highlight>écart type</highlight> de <var>X</var> est le nombre : |
| Patrick@308 | 55 |
<math><latex> |
| Patrick@308 | 56 |
{\rm{s}}\left(X\right) = \sqrt{V\left(X\right)}
|
| Patrick@308 | 57 |
</latex></math> |
| Patrick@308 | 58 |
</p> |
| Patrick@308 | 59 |
</section> |
| Patrick@308 | 60 |
|
| Patrick@308 | 61 |
<section> |
| Patrick@308 | 62 |
<head> |
| Patrick@308 | 63 |
<title>Formule mise en évidence</title> |
| Patrick@308 | 64 |
</head> |
| Patrick@308 | 65 |
<p> |
| Patrick@308 | 66 |
Soit la fonction : |
| Patrick@308 | 67 |
<math xml:id="fonction" display="wide"> |
| Patrick@308 | 68 |
<latex>f(x) = x^2 + \sqrt[3]{\frac{3x}{2y-3}}</latex>
|
| Patrick@308 | 69 |
</math> |
| Patrick@308 | 70 |
</p> |
| Patrick@308 | 71 |
</section> |
| Patrick@308 | 72 |
|
| Patrick@308 | 73 |
<section> |
| Patrick@308 | 74 |
<head> |
| Patrick@308 | 75 |
<title>Formule encadrée</title> |
| Patrick@308 | 76 |
</head> |
| Patrick@308 | 77 |
<p> |
| Patrick@308 | 78 |
Les transformations de Lorentz : |
| Patrick@308 | 79 |
<math xml:id="lorentz" display="box"> |
| Patrick@308 | 80 |
<latex plain="true"> |
| Patrick@308 | 81 |
\begin{eqnarray*}
|
| Patrick@308 | 82 |
ct' & = & \frac{ct-(v/c)x}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\\
|
| Patrick@308 | 83 |
x' & = & \frac{x-(v/c)ct}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\\
|
| Patrick@308 | 84 |
y' & = & y,\\ |
| Patrick@308 | 85 |
z' & = & z. |
| Patrick@308 | 86 |
\end{eqnarray*}
|
| Patrick@308 | 87 |
</latex> |
| Patrick@308 | 88 |
</math> |
| Patrick@308 | 89 |
</p> |
| Patrick@308 | 90 |
</section> |
| Patrick@308 | 91 |
|
| Patrick@308 | 92 |
<section> |
| Patrick@308 | 93 |
<head> |
| Patrick@308 | 94 |
<title>Formules numérotées</title> |
| Patrick@308 | 95 |
</head> |
| Patrick@308 | 96 |
<p> |
| Patrick@308 | 97 |
Une expression matricielle : |
| Patrick@308 | 98 |
<math display="numbered"> |
| Patrick@308 | 99 |
<latex> |
| Patrick@308 | 100 |
\left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right] =
|
| Patrick@308 | 101 |
\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}
|
| Patrick@308 | 102 |
\times \left[\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \end{array}\right]
|
| Patrick@308 | 103 |
</latex> |
| Patrick@308 | 104 |
</math> |
| Patrick@308 | 105 |
</p> |
| Patrick@308 | 106 |
<p> |
| Patrick@308 | 107 |
Une intégrale : |
| Patrick@308 | 108 |
<math display="numbered"> |
| Patrick@308 | 109 |
<latex>\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{-\ln x}} \; \mathrm dx</latex>
|
| Patrick@308 | 110 |
</math> |
| Patrick@308 | 111 |
</p> |
| Patrick@308 | 112 |
</section> |
| Patrick@308 | 113 |
|
| Patrick@308 | 114 |
<section> |
| Patrick@308 | 115 |
<head> |
| Patrick@308 | 116 |
<title>Formule numérotée et encadrée</title> |
| Patrick@308 | 117 |
</head> |
| Patrick@308 | 118 |
<p> |
| Patrick@308 | 119 |
Les harmoniques sphériques sont des fonctions définies sur la |
| Patrick@308 | 120 |
sphère. Ce sont les fonctions propres du laplacien bidimensionnel à |
| Patrick@308 | 121 |
symétrie sphérique, |
| Patrick@308 | 122 |
<math display="numbered-box"> |
| Patrick@308 | 123 |
<latex> |
| Patrick@308 | 124 |
\left({\partial^2\over\partial\theta^2}
|
| Patrick@308 | 125 |
+\cot\theta{\partial\over\partial\theta}
|
| Patrick@308 | 126 |
+{1\over\sin^2\theta}{\partial^2\over\partial\varphi^2}\right)Y_\ell^m
|
| Patrick@308 | 127 |
= -\ell(\ell+1)Y_\ell^m\ . |
| Patrick@308 | 128 |
</latex> |
| Patrick@308 | 129 |
</math> |
| Patrick@308 | 130 |
Les harmoniques sphériques forment un ensemble complet de fonctions des |
| Patrick@308 | 131 |
angles <math><latex>\theta</latex></math> et |
| Patrick@308 | 132 |
<math><latex>\varphi</latex></math> de sorte que toute fonction sur la |
| Patrick@308 | 133 |
sphère peut se décomposer sur une base d'harmoniques sphériques. |
| Patrick@308 | 134 |
</p> |
| Patrick@308 | 135 |
</section> |
| Patrick@275 | 136 |
</section> |
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| Patrick@275 | 138 |
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