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<publidoc version="1.0">
  <topic id="maths" xml:lang="fr">
    <head>
      <title>Quelques formules mathématiques</title>
      <subjectset>
        <subject>Mathématiques</subject>
      </subjectset>
    </head>

    <section>
      <head>
        <title>Formule native</title>
      </head>
      <section>
        <head><title>Le dernier théorème de Fermat</title></head>
        <p>
          Il n'existe pas de nombres entiers non nuls <var>x</var>,
          <var>y</var> et <var>z</var> tels que :
          <math xml:id="fermat" display="wide">
            <var>x</var><sup>n</sup> + <var>y</var><sup>n</sup> = <var>z</var><sup>n</sup>
          </math>
          dès que <var>n</var> est un entier strictement supérieur à 2.
        </p>
      </section>
    </section>

    <section>
      <head>
        <title>Formule en LaTeX</title>
      </head>
      <section>
        <head>
          <title>Formule dans le texte</title>
        </head>
        <p>
          On rappelle que la <highlight>moyenne</highlight> de <var>X</var> est
          le nombre : <math type="important"><latex>\overline X =
          \frac{1}{n}\left( {n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_p x_p } \right)</latex></math>.
        </p>
        <p>
          On appelle <highlight>variance</highlight> de la série
          statistique <var>X</var>, le nombre :
          <math><latex>V\left( X \right) =
          \frac{1}{n}\left( {n_1 \left( {x_1 - \overline X } \right)^2
          + \dots + n_p \left( {x_p - \overline X } \right)^2 }
          \right)</latex></math> qu'on réécrit ainsi :
          <math><latex>V\left( X \right) =
          \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^p {n_i \left( {x_i - \overline X }
          \right)^2 }</latex></math>.
        </p>
        <p>
          L'<highlight>écart type</highlight> de <var>X</var> est le nombre :
          <math><latex>
            {\textrm{s}}\left(X\right) = \sqrt{V\left(X\right)}
          </latex></math>
        </p>
      </section>

      <section>
        <head>
          <title>Formule mise en évidence</title>
        </head>
        <p>
          Soit la fonction :
          <math xml:id="fonction" display="wide">
            <latex>f(x) = x^2 + \sqrt[3]{\frac{3x}{2y-3}}</latex>
          </math>
        </p>
      </section>

      <section>
        <head>
          <title>Formule encadrée</title>
        </head>
        <p>
          Les transformations de Lorentz :
          <math xml:id="lorentz" display="box">
            <latex plain="true">
              \begin{eqnarray*}
              ct' &amp; = &amp; \frac{ct-(v/c)x}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\\
              x'  &amp; = &amp; \frac{x-(v/c)ct}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\\
              y'  &amp; = &amp; y,\\
              z'  &amp; = &amp; z.
              \end{eqnarray*}
            </latex>
          </math>
        </p>
      </section>

      <section>
        <head>
          <title>Formules numérotées</title>
        </head>
        <p>
          Une expression matricielle :
          <math display="numbered">
            <latex>
              \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right] =
              \begin{bmatrix} A &amp; B \\ C &amp; D \end{bmatrix}
              \times \left[\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \end{array}\right]
            </latex>
          </math>
        </p>
        <p>
          Une intégrale :
          <math display="numbered">
            <latex>\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{-\ln x}} \; \mathrm dx</latex>
          </math>
        </p>
      </section>

      <section>
        <head>
          <title>Formule numérotée et encadrée</title>
        </head>
        <p>
          Les harmoniques sphériques sont des fonctions définies sur la
          sphère. Ce sont les fonctions propres du laplacien bidimensionnel à
          symétrie sphérique,
          <math display="numbered-box">
            <latex>
              \left({\partial^2\over\partial\theta^2}
              +\cot\theta{\partial\over\partial\theta}
              +{1\over\sin^2\theta}{\partial^2\over\partial\varphi^2}\right)Y_\ell^m
              = -\ell(\ell+1)Y_\ell^m\ .
            </latex>
          </math>
          Les harmoniques sphériques forment un ensemble complet de fonctions des
          angles <math><latex>\theta</latex></math> et
          <math><latex>\varphi</latex></math> de sorte que toute fonction sur la
          sphère peut se décomposer sur une base d'harmoniques sphériques.
        </p>
      </section>

      <section>
        <head>
          <title>Formule avec préambule</title>
        </head>
        <section xml:lang="en">
          <p>
            Let <math><latex>I_+</latex></math> denote the ideal generated by
            the <math><latex>S_n</latex></math>-invariant homogeneous
            polynomials of positive degree in <math>
            <preambule><newcommand name="C">{\mathbb{C}}</newcommand></preambule>
            <latex>\C[x_1,\dots, x_n,y_1,\dots, y_n]</latex></math> and set
          </p>
          <p>
            <math display="wide">
              <preambule><newcommand name="C">{\mathbb{C}}</newcommand></preambule>
              <latex>R_n :=\C[\mathbf{x},\mathbf{y}] / I_+.</latex>
            </math>
          </p>
          <p>
            It is known for sometime that the bi-graded Frobenius character of
            <math><latex>R_n</latex></math> is given by the transformation of
            the elementary symmetric function <math><latex>e_{n}</latex></math>
            under Bergeron-Garsia's "nabla" operator, <math><latex>\nabla
            e_n</latex></math>. In other words, the symmetric function
            <math><latex>\nabla e_n</latex></math> has an underlying
            <math><latex>S_{n}</latex></math>-representation.  Roughly stated,
            <math><latex>\nabla</latex></math> is a
            <math>
              <preambule>
              <newcommand name="mbb">[1]{\mathbb{#1}}</newcommand></preambule>
              <latex>\mbb{Q}</latex></math>-linear operator defined on the ring
              of symmetric functions <math><latex>\Lambda</latex></math> in
              such a way that the modified Macdonald symmetric functions are
              the eigenfunctions of <math><latex>\nabla</latex></math> with
              prescribed eigenvalues.
          </p>
        </section>
      </section>
    </section>
 </topic>
</publidoc>
