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<publidoc version="1.0">
<topic id="maths" xml:lang="fr">
<head>
<title>Quelques formules mathématiques</title>
<subjectset>
<subject>Mathématiques</subject>
</subjectset>
</head>
<section>
<head>
<title>Formule native</title>
</head>
<section>
<head><title>Le dernier théorème de Fermat</title></head>
<p>
Il n'existe pas de nombres entiers non nuls <var>x</var>,
<var>y</var> et <var>z</var> tels que :
<math xml:id="fermat" display="wide">
<var>x</var><sup>n</sup> + <var>y</var><sup>n</sup> = <var>z</var><sup>n</sup>
</math>
dès que <var>n</var> est un entier strictement supérieur à 2.
</p>
</section>
</section>
<section>
<head>
<title>Formule en LaTeX</title>
</head>
<section>
<head>
<title>Formule dans le texte</title>
</head>
<p>
On rappelle que la <highlight>moyenne</highlight> de <var>X</var> est
le nombre : <math type="important"><latex>\overline X =
\frac{1}{n}\left( {n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_p x_p } \right)</latex></math>.
</p>
<p>
On appelle <highlight>variance</highlight> de la série
statistique <var>X</var>, le nombre :
<math><latex>V\left( X \right) =
\frac{1}{n}\left( {n_1 \left( {x_1 - \overline X } \right)^2
+ \dots + n_p \left( {x_p - \overline X } \right)^2 }
\right)</latex></math> qu'on réécrit ainsi :
<math><latex>V\left( X \right) =
\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^p {n_i \left( {x_i - \overline X }
\right)^2 }</latex></math>.
</p>
<p>
L'<highlight>écart type</highlight> de <var>X</var> est le nombre :
<math><latex>
{\textrm{s}}\left(X\right) = \sqrt{V\left(X\right)}
</latex></math>
</p>
</section>
<section>
<head>
<title>Formule mise en évidence</title>
</head>
<p>
Soit la fonction :
<math xml:id="fonction" display="wide">
<latex>f(x) = x^2 + \sqrt[3]{\frac{3x}{2y-3}}</latex>
</math>
</p>
</section>
<section>
<head>
<title>Formule encadrée</title>
</head>
<p>
Les transformations de Lorentz :
<math xml:id="lorentz" display="box">
<latex plain="true">
\begin{eqnarray*}
ct' & = & \frac{ct-(v/c)x}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\\
x' & = & \frac{x-(v/c)ct}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\\
y' & = & y,\\
z' & = & z.
\end{eqnarray*}
</latex>
</math>
</p>
</section>
<section>
<head>
<title>Formules numérotées</title>
</head>
<p>
Une expression matricielle :
<math display="numbered">
<latex>
\left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right] =
\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}
\times \left[\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \end{array}\right]
</latex>
</math>
</p>
<p>
Une intégrale :
<math display="numbered">
<latex>\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{-\ln x}} \; \mathrm dx</latex>
</math>
</p>
</section>
<section>
<head>
<title>Formule numérotée et encadrée</title>
</head>
<p>
Les harmoniques sphériques sont des fonctions définies sur la
sphère. Ce sont les fonctions propres du laplacien bidimensionnel à
symétrie sphérique,
<math display="numbered-box">
<latex>
\left({\partial^2\over\partial\theta^2}
+\cot\theta{\partial\over\partial\theta}
+{1\over\sin^2\theta}{\partial^2\over\partial\varphi^2}\right)Y_\ell^m
= -\ell(\ell+1)Y_\ell^m\ .
</latex>
</math>
Les harmoniques sphériques forment un ensemble complet de fonctions des
angles <math><latex>\theta</latex></math> et
<math><latex>\varphi</latex></math> de sorte que toute fonction sur la
sphère peut se décomposer sur une base d'harmoniques sphériques.
</p>
</section>
<section>
<head>
<title>Formule avec préambule</title>
</head>
<section xml:lang="en">
<p>
Let <math><latex>I_+</latex></math> denote the ideal generated by
the <math><latex>S_n</latex></math>-invariant homogeneous
polynomials of positive degree in <math>
<preambule><newcommand name="C">{\mathbb{C}}</newcommand></preambule>
<latex>\C[x_1,\dots, x_n,y_1,\dots, y_n]</latex></math> and set
</p>
<p>
<math display="wide">
<preambule><newcommand name="C">{\mathbb{C}}</newcommand></preambule>
<latex>R_n :=\C[\mathbf{x},\mathbf{y}] / I_+.</latex>
</math>
</p>
<p>
It is known for sometime that the bi-graded Frobenius character of
<math><latex>R_n</latex></math> is given by the transformation of
the elementary symmetric function <math><latex>e_{n}</latex></math>
under Bergeron-Garsia's "nabla" operator, <math><latex>\nabla
e_n</latex></math>. In other words, the symmetric function
<math><latex>\nabla e_n</latex></math> has an underlying
<math><latex>S_{n}</latex></math>-representation. Roughly stated,
<math><latex>\nabla</latex></math> is a
<math>
<preambule>
<newcommand name="mbb">[1]{\mathbb{#1}}</newcommand></preambule>
<latex>\mbb{Q}</latex></math>-linear operator defined on the ring
of symmetric functions <math><latex>\Lambda</latex></math> in
such a way that the modified Macdonald symmetric functions are
the eigenfunctions of <math><latex>\nabla</latex></math> with
prescribed eigenvalues.
</p>
</section>
</section>
</section>
</topic>
</publidoc>