Quelques formules mathématiques

Patrick@275: Patrick@308: Formule en LaTeX Patrick@275: Patrick@308:

Patrick@308: Patrick@308: Formule dans le texte Patrick@308: Patrick@308:

Patrick@308: On rappelle que la moyenne de X est Patrick@435: le nombre : $\overline X =
Patrick@308: \frac{1}{n}\left( {n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_p x_p } \right)$ . Patrick@308:

Patrick@308:

Patrick@308: On appelle variance de la série Patrick@308: statistique X, le nombre : Patrick@308: $V\left( X \right) =
Patrick@430: \frac{1}{n}\left( {n_1 \left( {x_1 - \overline X } \right)^2
Patrick@308: + \dots + n_p \left( {x_p - \overline X } \right)^2 }
Patrick@308: \right)$ qu'on réécrit ainsi : Patrick@308: $V\left( X \right) =
Patrick@308: \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^p {n_i \left( {x_i - \overline X }
Patrick@308: \right)^2 }$ . Patrick@308:

Patrick@308:

Patrick@308: L'écart type de X est le nombre : Patrick@308: $Patrick@431: {\textrm{s}}\left(X\right) = \sqrt{V\left(X\right)}
Patrick@308:$ Patrick@308:

Patrick@308:

Patrick@430: Patrick@308:

Patrick@308: Patrick@308: Formule mise en évidence Patrick@308: Patrick@308:

Patrick@308: Soit la fonction : Patrick@308: $Patrick@308: f(x) = x^2 + \sqrt[3]{\frac{3x}{2y-3}} Patrick@308:$ Patrick@308:

Patrick@308:

Patrick@430: Patrick@308:

Patrick@308: Patrick@308: Formule encadrée Patrick@308: Patrick@308:

Patrick@308: Les transformations de Lorentz : Patrick@308: $Patrick@308: Patrick@308: \begin{eqnarray*}
Patrick@308: ct' & = & \frac{ct-(v/c)x}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\\
Patrick@308: x' & = & \frac{x-(v/c)ct}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\\
Patrick@308: y' & = & y,\\
Patrick@308: z' & = & z.
Patrick@308: \end{eqnarray*}
Patrick@308: Patrick@308:$ Patrick@308:

Patrick@308:

Patrick@430: Patrick@308:

Patrick@308: Patrick@308: Formules numérotées Patrick@308: Patrick@308:

Patrick@308: Une expression matricielle : Patrick@308: $Patrick@308: Patrick@308: \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right] =
Patrick@308: \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}
Patrick@308: \times \left[\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \end{array}\right]
Patrick@308: Patrick@308:$ Patrick@308:

Patrick@308:

Patrick@308: Une intégrale : Patrick@308: $Patrick@308: \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{-\ln x}} \; \mathrm dx Patrick@308:$ Patrick@308:

Patrick@308:

Patrick@430: Patrick@308:

Patrick@308: Patrick@308: Formule numérotée et encadrée Patrick@308: Patrick@308:

Patrick@308: Les harmoniques sphériques sont des fonctions définies sur la Patrick@308: sphère. Ce sont les fonctions propres du laplacien bidimensionnel à Patrick@308: symétrie sphérique, Patrick@308: $Patrick@308: Patrick@308: \left({\partial^2\over\partial\theta^2}
Patrick@308: +\cot\theta{\partial\over\partial\theta}
Patrick@308: +{1\over\sin^2\theta}{\partial^2\over\partial\varphi^2}\right)Y_\ell^m
Patrick@308: = -\ell(\ell+1)Y_\ell^m\ .
Patrick@308: Patrick@308:$ Patrick@308: Les harmoniques sphériques forment un ensemble complet de fonctions des Patrick@308: angles $\theta$ et Patrick@308: $\varphi$ de sorte que toute fonction sur la Patrick@308: sphère peut se décomposer sur une base d'harmoniques sphériques. Patrick@308:

Patrick@308:

iinov@460: iinov@460:

iinov@460: iinov@460: Formule avec préambule iinov@460: iinov@460:

iinov@460:

iinov@460: Let $I_+$ denote the ideal generated by iinov@460: the $S_n$ -invariant homogeneous iinov@460: polynomials of positive degree in $iinov@460: {\mathbb{C}} iinov@460: \C[x_1,\dots, x_n,y_1,\dots, y_n]$ and set iinov@460:

iinov@460:

iinov@460: $iinov@460: {\mathbb{C}} iinov@460: R_n :=\C[\mathbf{x},\mathbf{y}] / I_+. iinov@460:$ iinov@460:

iinov@460:

iinov@460: It is known for sometime that the bi-graded Frobenius character of iinov@460: $R_n$ is given by the transformation of iinov@460: the elementary symmetric function $e_{n}$ iinov@460: under Bergeron-Garsia's "nabla" operator, $\nabla
iinov@460: e_n$ . In other words, the symmetric function iinov@460: $\nabla e_n$ has an underlying iinov@460: $S_{n}$ -representation. Roughly stated, iinov@460: $\nabla$ is a iinov@460: $iinov@460: iinov@460: [1]{\mathbb{#1}} iinov@460: \mbb{Q}$ -linear operator defined on the ring iinov@460: of symmetric functions $\Lambda$ in iinov@460: such a way that the modified Macdonald symmetric functions are iinov@460: the eigenfunctions of $\nabla$ with iinov@460: prescribed eigenvalues. iinov@460:

iinov@460:

Patrick@275: